対称性を利用して閉じた曲線で囲まれた面積を求める（B）

方程式は，$y$ を $-y$ におき換えても，$x$ を $-x$ におき換えても変わらないから，曲線は $x$ 軸，$y$ 軸に関して対称である．また，$y^2\geqq 0$ より $x^2(1-x^2)\geqq 0$ であるから，曲線は $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲にある（8 の字形，下図）． 第 1 象限の部分は $y=x\sqrt{1-x^2}\ (0\leqq x\leqq 1)$ であるから \[ S=4\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx=4\left[-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3} \]