対称性を利用して閉じた曲線で囲まれた面積を求める（A）

楕円は $x$ 軸，$y$ 軸に関して対称であるから，第 1 象限の部分の面積の 4 倍を求める．第 1 象限では $y=\dfrac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$ であるから \[ S=4\int_0^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\,dx=2\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx \] $\displaystyle\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx$ は半径 2 の四分円の面積で $\pi$ であるから $S=2\pi$ （一般に，楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の面積は $\pi ab$ である．）