接する条件を使って囲まれた部分の面積を求める（B）

接点を $(t,\,e^t)$ とすると接線は $y=e^t(x-t)+e^t$．原点を通るから $0=e^t(1-t)$ より $t=1$ よって $\ell:y=ex$，接点は $(1,\,e)$．曲線 $y=e^x$ は下に凸であるから，接線 $\ell$ の上側にある．よって，$0\leqq x\leqq 1$ で $e^x\geqq ex$ であるから（下図） \[ S=\int_0^1(e^x-ex)\,dx=\left[e^x-\frac{e}{2}x^2\right]_0^1=e-\frac{e}{2}-1=\frac{e}{2}-1 \]