接する条件を使って囲まれた部分の面積を求める（A）

接点の $x$ 座標を $t$ とすると，$at^2=\log t$，$2at=\dfrac{1}{t}$ 第 2 式より $at^2=\dfrac{1}{2}$ で，$\log t=\dfrac{1}{2}$ より $t=\sqrt{e}$，$a=\dfrac{1}{2e}$ このとき，$h(x)=\dfrac{x^2}{2e}-\log x\ (x>0)$ とおくと \[ h'(x)=\frac{x}{e}-\frac{1}{x}=\frac{x^2-e}{ex} \] であるから，$h(x)$ は $x=\sqrt{e}$ で最小値 $h(\sqrt{e})=0$ をとる．よって，$x>0$ で $\dfrac{x^2}{2e}\geqq\log x$ であり，曲線 $y=ax^2$ は曲線 $y=\log x$ の上側にある． 求める面積は，下図の網かけ部分で \[ S=\int_0^{\sqrt{e}}\frac{x^2}{2e}\,dx-\int_1^{\sqrt{e}}\log x\,dx=\left[\frac{x^3}{6e}\right]_0^{\sqrt{e}}-\Bigl[x\log x-x\Bigr]_1^{\sqrt{e}} \] \[ =\frac{e\sqrt{e}}{6e}-\left(\frac{\sqrt{e}}{2}-\sqrt{e}+1\right)=\frac{\sqrt{e}}{6}+\frac{\sqrt{e}}{2}-1=\frac{2\sqrt{e}}{3}-1 \]