2 曲線で囲まれた部分の面積（A）

$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ である．$\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{5}{4}\pi$ のとき $0\leqq x-\dfrac{\pi}{4}\leqq\pi$ であるから，$\sin x-\cos x\geqq 0$ であり，等号が成り立つのは $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{5}{4}\pi$ のときである．よって，2 曲線は $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{5}{4}\pi$ で交わり，$\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{5}{4}\pi$ では $\sin x\geqq\cos x$ である（下図）． \[ S=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}(\sin x-\cos x)\,dx=\Bigl[-\cos x-\sin x\Bigr]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sqrt{2} \]