1/k の和と log の大小（面積で比べる）（B）

$k\leqq x\leqq k+1$ のとき $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{x}}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ で，等号はつねには成り立たないから \[ \frac{1}{\sqrt{k+1}}<\int_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{k}}\ \cdots\text{①} \] ① の右側を $k=1,\,\cdots,\,n$ について加えると \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}>\int_1^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_1^{n+1}=2(\sqrt{n+1}-1) \] ① の左側を $k=1,\,\cdots,\,n-1$ について加えると \[ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}<\int_1^n\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{n}-2 \] 両辺に $1$ を加えて $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-1$