1/k の和と log の大小（面積で比べる）（A）

$k\leqq x\leqq k+1$ のとき $\dfrac{1}{k+1}\leqq\dfrac{1}{x}\leqq\dfrac{1}{k}$ で，等号はつねには成り立たないから \[ \frac{1}{k+1}<\int_k^{k+1}\frac{dx}{x}<\frac{1}{k}\ \cdots\text{①} \] ① の右側の不等式を $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$ について加えると \[ \int_1^{n+1}\frac{dx}{x}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\quad\text{すなわち}\quad\log(n+1)<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \] ① の左側の不等式を $k=1,\,2,\,\cdots,\,n-1$ について加えると \[ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k}<\int_1^n\frac{dx}{x}=\log n\quad\text{より}\quad\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}<1+\log n \] （下図で，長方形の面積の和と曲線の下の面積を比べている．）