被積分関数を評価して定積分の不等式（B）

$0\leqq x\leqq 1$ において $0\leqq x^3\leqq x^2$ であるから \[ \frac{1}{1+x^2}\leqq\frac{1}{1+x^3}\leqq 1 \] 左の等号は $x=0,\ 1$ のとき，右の等号は $x=0$ のときのみ成り立ち，つねには成り立たない．よって \[ \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}<\int_0^1\frac{dx}{1+x^3}<\int_0^1dx=1 \] ここで，$x=\tan\theta$ とおくと $dx=\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$ $x$ と $\theta$ の対応は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & 1 \\ \hline \theta & 0 & \to & \dfrac{\pi}{4} \end{array} \] よって \[ \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta=\frac{\pi}{4} \] したがって $\displaystyle\frac{\pi}{4}<\int_0^1\frac{dx}{1+x^3}<1$