被積分関数を評価して定積分の不等式（A）

$0\leqq x\leqq 1$ において考える． $h(t)=e^t-(1+t)$ とおくと $h'(t)=e^t-1$ $t>0$ のとき $h'(t)>0$ であるから，$h(t)$ は $t\geqq 0$ で増加する．$h(0)=0$ であるから，$t\geqq 0$ のとき $h(t)\geqq 0$ で，等号は $t=0$ のときのみ成り立つ． よって，$t=x^2$ とすると $e^{x^2}\geqq 1+x^2$．等号は $x=0$ のときのみ成り立つ． また $0\leqq x\leqq 1$ で $x^2\leqq x$ より $e^{x^2}\leqq e^x$．等号は $x=0,\ 1$ のときのみ． よって $1+x^2\leqq e^{x^2}\leqq e^x$ で，等号はつねには成り立たないから \[ \int_0^1(1+x^2)\,dx<\int_0^1e^{x^2}\,dx<\int_0^1e^x\,dx \] $\displaystyle\int_0^1(1+x^2)\,dx=\frac{4}{3}$，$\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-1$ であるから，示された．