1 から n までの番号を選ぶ確率の極限（B）

$X=k$ のとき，$Y^2\leqq n^2-k^2$ を満たす $Y$ の個数は $[\sqrt{n^2-k^2}]$（$[a]$ は $a$ を超えない最大の整数を表す）であるから \[ p_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}[\sqrt{n^2-k^2}] \] $\sqrt{n^2-k^2}-1<[\sqrt{n^2-k^2}]\leqq\sqrt{n^2-k^2}$ であるから \[ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}-\frac{1}{n}<p_n\leqq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2} \] 区分求積法により $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}=\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{4}$（半径 1 の四分円の面積）であり，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ であるから，両端はともに $\dfrac{\pi}{4}$ に収束する． よって，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=\frac{\pi}{4}$