1 から n までの番号を選ぶ確率の極限（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 1 から n までの番号を選ぶ確率の極限（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$1$ から $n$ までの整数が 1 つずつ書かれた $n$ 枚のカードから 1 枚引いて番号を記録し，もとに戻すことを 3 回くり返す．3 回目の番号が，1 回目の番号以上であり，かつ 2 回目の番号以上でもある確率を $p_n$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $p_n$ を $n$ の式で表せ．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ を，区分求積法を用いて求めよ．
\end{enumerate}
(1) 3 回目の番号が $k\ (k=1,\,2,\,\cdots,\,n)$ である確率は $\dfrac{1}{n}$ であり，このとき 1 回目，2 回目の番号がともに $k$ 以下である確率は $\left(\dfrac{k}{n}\right)^2$ である．これらの事象は互いに排反であるから
\[ p_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \]
(2) $p_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$ であるから
\[ \lim_{n\to\infty}p_n=\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3} \]
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