円周上の等分点と弦の長さの和の極限（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 円周上の等分点と弦の長さの和の極限（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
半径 1 の円周を $n$ 等分する点を $\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1}$ とし（$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}_0$ とする），$\mathrm{A}=\mathrm{P}_0$ とする．極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{AP}_k^{\,2}$ を求めよ．
円の中心 O を原点とし，$\mathrm{A}(1,\,0)$ となるように座標を定めると，$\mathrm{P}_k\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n},\,\sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)$ と表せるから
\[ \mathrm{AP}_k^{\,2}=\left(\cos\frac{2k\pi}{n}-1\right)^2+\sin^2\frac{2k\pi}{n}=2-2\cos\frac{2k\pi}{n} \]
よって
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(2-2\cos\frac{2k\pi}{n}\right)=\int_0^1(2-2\cos 2\pi x)\,dx=\left[2x-\frac{\sin 2\pi x}{\pi}\right]_0^1=2 \]
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