円周上の等分点と弦の長さの和の極限（A）

半円の中心を O とすると $\angle\mathrm{AOP}_k=\dfrac{k\pi}{n}$ である．$k=1,\,2,\,\cdots,\,n-1$ のとき，$\mathrm{OA}=\mathrm{OP}_k=1$ の二等辺三角形 $\mathrm{OAP}_k$ において，O から辺 $\mathrm{AP}_k$ に下ろした垂線は $\angle\mathrm{AOP}_k$ と辺 $\mathrm{AP}_k$ をそれぞれ 2 等分するから \[ \mathrm{AP}_k=2\sin\frac{k\pi}{2n} \] また，$\mathrm{AP}_n=\mathrm{AB}=2=2\sin\dfrac{\pi}{2}$ であるから，これは $k=n$ のときも成り立つ． よって \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}2\sin\frac{k\pi}{2n}=\int_0^12\sin\frac{\pi x}{2}\,dx=\left[-\frac{4}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2}\right]_0^1=\frac{4}{\pi} \]