積の n 乗根の極限（対数をとって区分求積）（B）

与えられた式を $a_n$ とする．$(n+1)(n+2)\cdots(3n)$ は $2n$ 個の数 $n+k\ (k=1,\,2,\,\cdots,\,2n)$ の積であるから，各因数を $n$ で割ると \[ a_n=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{2n}{n}\right)\right\}^{\frac{1}{n}} \] 自然対数をとると \[ \log a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\to\int_0^2\log(1+x)\,dx \] （$\dfrac{k}{n}$ は $0$ から $2$ までを $\dfrac{1}{n}$ 刻みで動く．） \[ \int_0^2\log(1+x)\,dx=\Bigl[(1+x)\log(1+x)-x\Bigr]_0^2=3\log 3-2=\log\frac{27}{e^2} \] よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{27}{e^2}$