積の n 乗根の極限（対数をとって区分求積）（A）

$a_n=\dfrac{1}{n}\left\{\dfrac{(2n)!}{n!}\right\}^{\frac{1}{n}}$ とおく．$\dfrac{(2n)!}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots(2n)$ であるから \[ a_n=\left\{\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{n^n}\right\}^{\frac{1}{n}}=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right\}^{\frac{1}{n}} \] 自然対数をとると \[ \log a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\to\int_0^1\log(1+x)\,dx \] \[ \int_0^1\log(1+x)\,dx=\Bigl[(1+x)\log(1+x)-x\Bigr]_0^1=2\log 2-1=\log\frac{4}{e} \] よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{4}{e}$