k/n の範囲が 0〜2 などになる区分求積（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: k/n の範囲が 0〜2 などになる区分求積（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{2n}k$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}$
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}k=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n}$ で，区間 $[0,\,2]$ の区分求積となるから
\[ \int_0^2x\,dx=2 \]
（実際，$\dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{2n(2n+1)}{2}=\dfrac{2n+1}{n}\to 2$ である．）
(2) $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\frac{k}{n}}{\left(\frac{k}{n}\right)^2+1}$ で，$\dfrac{k}{n}$ は $1+\dfrac{1}{n}$ から $2$ まで動くから
\[ \int_1^2\frac{x}{x^2+1}\,dx=\left[\frac{1}{2}\log(x^2+1)\right]_1^2=\frac{1}{2}\log\frac{5}{2} \]
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