k/n の範囲が 0〜2 などになる区分求積（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: k/n の範囲が 0〜2 などになる区分求積（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の極限を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{3n}\log\frac{k}{n}$
\end{enumerate}
(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$．$\dfrac{k}{n}$ は $\dfrac{1}{n}$ から $2$ まで $\dfrac{1}{n}$ 刻みで動くから，区間 $[0,\,2]$ の区分求積となり
\[ \int_0^2\frac{dx}{1+x}=\Bigl[\log(1+x)\Bigr]_0^2=\log 3 \]
(2) $\dfrac{k}{n}$ は $1+\dfrac{1}{n}$ から $3$ まで動くから，区間 $[1,\,3]$ の区分求積となり
\[ \int_1^3\log x\,dx=\Bigl[x\log x-x\Bigr]_1^3=(3\log 3-3)-(-1)=3\log 3-2 \]
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