区分求積法で和の極限を定積分にする（B）

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} \] $x=\tan\theta$ とおくと $dx=\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$ $x$ と $\theta$ の対応は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & 1 \\ \hline \theta & 0 & \to & \dfrac{\pi}{4} \end{array} \] よって \[ \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta=\frac{\pi}{4} \] (2) $f(x)=\sin\pi x$ とすると，$\sin\dfrac{k\pi}{n}=f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}=\int_0^1\sin\pi x\,dx=\left[-\frac{\cos\pi x}{\pi}\right]_0^1=\frac{2}{\pi} \] (3) $f(x)=e^x$ とすると \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}e^{\frac{k}{n}}=\int_0^1e^x\,dx=\Bigl[e^x\Bigr]_0^1=e-1 \]