区分求積法で和の極限を定積分にする（A）

区分求積法 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)\,dx$ を用いる． (1) \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2=\int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3} \] （下図の長方形の面積の和の極限である．） (2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\Bigl[\log(1+x)\Bigr]_0^1=\log 2 \] (3) $\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ke^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}e^{\frac{k}{n}}$ であるから，部分積分法により \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}ke^{\frac{k}{n}}=\int_0^1xe^x\,dx=\Bigl[xe^x\Bigr]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1 \]