x の関数としての定積分の最小値（B）

$e^{2t}=x$ となるのは $t=\dfrac{1}{2}\log x$ のときで，$1\leqq x\leqq e^2$ より $0\leqq\dfrac{1}{2}\log x\leqq 1$ である． $0\leqq t\leqq\dfrac{1}{2}\log x$ のとき $e^{2t}\leqq x$，$\dfrac{1}{2}\log x\leqq t\leqq 1$ のとき $e^{2t}\geqq x$ であるから（下図） \[ F(x)=\int_0^{\frac{1}{2}\log x}(x-e^{2t})\,dt+\int_{\frac{1}{2}\log x}^1(e^{2t}-x)\,dt \] ここで，$e^{2\cdot\frac{1}{2}\log x}=e^{\log x}=x$ であるから \[ \int_0^{\frac{1}{2}\log x}(x-e^{2t})\,dt=\left[xt-\frac{e^{2t}}{2}\right]_0^{\frac{1}{2}\log x}=\frac{x}{2}\log x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \] \[ \int_{\frac{1}{2}\log x}^1(e^{2t}-x)\,dt=\left[\frac{e^{2t}}{2}-xt\right]_{\frac{1}{2}\log x}^1=\left(\frac{e^2}{2}-x\right)-\left(\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\log x\right)=\frac{x}{2}\log x-\frac{3}{2}x+\frac{e^2}{2} \] よって \[ F(x)=x\log x-2x+\frac{e^2+1}{2} \] $F'(x)=\log x+x\cdot\dfrac{1}{x}-2=\log x-1$ $F'(x)=0$ とすると　$\log x=1$　すなわち　$x=e$ これは $1<e<e^2$ を満たす． また　$F(1)=\dfrac{e^2-3}{2}$，$F(e)=e-2e+\dfrac{e^2+1}{2}=\dfrac{e^2-2e+1}{2}=\dfrac{(e-1)^2}{2}$，$F(e^2)=\dfrac{e^2+1}{2}$ $1\leqq x\leqq e^2$ における $F(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & \cdots & e & \cdots & e^2 \\ \hline F'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline F(x) & \dfrac{e^2-3}{2} & \searrow & \dfrac{(e-1)^2}{2} & \nearrow & \dfrac{e^2+1}{2} \end{array} \] したがって，$F(x)$ は $x=e$ で最小値 $\dfrac{(e-1)^2}{2}$ をとる．