x の関数としての定積分の最小値（A）

$\log t=x$ となるのは $t=e^x$ で，$1\leqq e^x\leqq e$ である．$1\leqq t\leqq e^x$ のとき $\log t\leqq x$，$e^x\leqq t\leqq e$ のとき $\log t\geqq x$ であるから \[ F(x)=\int_1^{e^x}(x-\log t)\,dt+\int_{e^x}^e(\log t-x)\,dt \] ここで，$\displaystyle\int\log t\,dt=t\log t-t+C$（$C$ は積分定数）を用いると \[ \int_1^{e^x}(x-\log t)\,dt=x(e^x-1)-\Bigl[t\log t-t\Bigr]_1^{e^x}=xe^x-x-(xe^x-e^x+1)=e^x-x-1 \] \[ \int_{e^x}^e(\log t-x)\,dt=\Bigl[t\log t-t\Bigr]_{e^x}^e-x(e-e^x)=-(xe^x-e^x)-ex+xe^x=e^x-ex \] よって $F(x)=2e^x-(e+1)x-1$ $F'(x)=2e^x-(e+1)$．$F'(x)=0$ とすると $e^x=\dfrac{e+1}{2}$ より $x=\log\dfrac{e+1}{2}$（$1<\dfrac{e+1}{2}<e$ より $0<x<1$） $F'(x)$ はこの前後で負から正に変わるから，最小値は \[ F\left(\log\frac{e+1}{2}\right)=(e+1)-(e+1)\log\frac{e+1}{2}-1=e-(e+1)\log\frac{e+1}{2} \]