文字を含む定積分の最小値（B）

\[ I(a)=\int_0^1(e^{2x}-2axe^x+a^2x^2)\,dx=\int_0^1e^{2x}\,dx-2a\int_0^1xe^x\,dx+a^2\int_0^1x^2\,dx \] ここで \[ \int_0^1e^{2x}\,dx=\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1=\frac{e^2-1}{2} \] また，部分積分法により \[ \int_0^1xe^x\,dx=\Bigl[xe^x\Bigr]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-\Bigl[e^x\Bigr]_0^1=e-(e-1)=1 \] \[ \int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3} \] であるから \[ I(a)=\frac{1}{3}a^2-2a+\frac{e^2-1}{2}=\frac{1}{3}(a-3)^2-3+\frac{e^2-1}{2}=\frac{1}{3}(a-3)^2+\frac{e^2-7}{2} \] よって，$I(a)$ は $a$ の 2 次関数で，そのグラフは下に凸の放物線であり，軸は直線 $a=3$ である（下図）． したがって，$I(a)$ は $a=3$ のとき最小値 $\dfrac{e^2-7}{2}$ をとる．