文字を含む定積分の最小値（A）

\[ I(a)=\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx-2a\int_0^{\pi}x\sin x\,dx+a^2\int_0^{\pi}x^2\,dx \] ここで \[ \int_0^{\pi}\sin^2x\,dx=\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi}=\frac{\pi}{2} \] \[ \int_0^{\pi}x\sin x\,dx=\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+\Bigl[\sin x\Bigr]_0^{\pi}=\pi \] \[ \int_0^{\pi}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi}=\frac{\pi^3}{3} \] であるから \[ I(a)=\frac{\pi^3}{3}a^2-2\pi a+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^3}{3}\left(a-\frac{3}{\pi^2}\right)^2-\frac{3}{\pi}+\frac{\pi}{2} \] よって $a=\dfrac{3}{\pi^2}$ のとき最小値 $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3}{\pi}$