定積分を定数とおいて関数を決める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 定積分を定数とおいて関数を決める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 等式 $f(x)=e^x+x\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．
\item[(2)] 等式 $\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=\log x-2\ (x>0)$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=k$（定数）とおくと $f(x)=e^x+kx$
\[ k=\int_0^1(e^t+kt)\,dt=e-1+\frac{k}{2} \]
よって $k=2(e-1)$ で，$f(x)=e^x+2(e-1)x$
(2) 両辺を $x$ で微分して $f(x)=\dfrac{1}{x}$
$x=a$ とすると $0=\log a-2$ より $a=e^2$
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