定積分を定数とおいて関数を決める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 定積分を定数とおいて関数を決める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 等式 $f(x)=x+\displaystyle\int_0^{\pi}f(t)\sin t\,dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．
\item[(2)] 等式 $\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=e^{2x}-e$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\displaystyle\int_0^{\pi}f(t)\sin t\,dt$ は定数であるから，これを $k$ とおくと $f(x)=x+k$
\[ k=\int_0^{\pi}(t+k)\sin t\,dt=\int_0^{\pi}t\sin t\,dt+k\int_0^{\pi}\sin t\,dt=\pi+2k \]
（$\displaystyle\int_0^{\pi}t\sin t\,dt=\Bigl[-t\cos t\Bigr]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos t\,dt=\pi$）
よって $k=-\pi$ で，$f(x)=x-\pi$
(2) 両辺を $x$ で微分して $f(x)=2e^{2x}$
また，$x=a$ とすると左辺は $0$ であるから $e^{2a}-e=0$ より $a=\dfrac{1}{2}$
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