∫ₐˣ で表された関数の微分（B）

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(x)$ を用いる．また，$f(t)$ の原始関数の1つを $F(t)$ とすると，$\displaystyle\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)\,dt=F(g(x))-F(h(x))$ であるから，合成関数の微分法により \[ \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x) \] (1) $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{x^2}\sin t\,dt=\sin x^2\cdot(x^2)'=2x\sin x^2$ (2) $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x+1}e^{t^2}\,dt=e^{(x+1)^2}\cdot(x+1)'-e^{x^2}\cdot(x)'=e^{(x+1)^2}-e^{x^2}$ (3) $\displaystyle\int_0^x(x-t)e^t\,dt=x\int_0^xe^t\,dt-\int_0^xte^t\,dt$ であるから，積の微分法を用いて \[ \frac{d}{dx}(\text{与式})=\int_0^xe^t\,dt+xe^x-xe^x=\Bigl[e^t\Bigr]_0^x=e^x-1 \]