∫ₐˣ で表された関数の微分（A）

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(x)$ を用いる．また，$f(t)$ の原始関数の1つを $F(t)$ とすると，$\displaystyle\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)\,dt=F(g(x))-F(h(x))$ であるから，合成関数の微分法により \[ \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x) \] (1) $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x(t^2+1)e^t\,dt=(x^2+1)e^x$ (2) $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{2x}\log t\,dt=\log 2x\cdot(2x)'-\log x\cdot(x)'=2\log 2x-\log x=2\log 2+2\log x-\log x=\log x+2\log 2=\log 4x$ (3) $\displaystyle\int_0^x(x-t)\cos t\,dt=x\int_0^x\cos t\,dt-\int_0^xt\cos t\,dt$ であるから，積の微分法を用いて \[ \frac{d}{dx}(\text{与式})=\int_0^x\cos t\,dt+x\cos x-x\cos x=\sin x \]