逆関数の定積分を置換で求める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 逆関数の定積分を置換で求める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$f(x)=e^x+x$ の逆関数を $g(x)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a<b$ のとき $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx+\int_{f(a)}^{f(b)}g(y)\,dy=bf(b)-af(a)$ が成り立つことを示せ．
\item[(2)] $\displaystyle\int_1^{e+1}g(x)\,dx$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $f'(x)=e^x+1>0$ より，$f(x)$ は増加関数である．$\displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)}g(y)\,dy$ で $y=f(t)$ とおくと $dy=f'(t)\,dt$，$g(y)=t$，$y:f(a)\to f(b)$ のとき $t:a\to b$
\[ \int_{f(a)}^{f(b)}g(y)\,dy=\int_a^btf'(t)\,dt=\Bigl[tf(t)\Bigr]_a^b-\int_a^bf(t)\,dt=bf(b)-af(a)-\int_a^bf(t)\,dt \]
よって与式が成り立つ．
(2) $f(0)=1$，$f(1)=e+1$．(1) で $a=0$，$b=1$ として
\[ \int_1^{e+1}g(x)\,dx=1\cdot(e+1)-0-\int_0^1(e^x+x)\,dx=e+1-\left(e-1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2} \]
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