逆関数の定積分を置換で求める（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 逆関数の定積分を置換で求める（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$f(x)=x^3+x$ の逆関数を $g(x)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x=f(t)$ とおき換えることにより，$\displaystyle\int_0^2g(x)\,dx=\int_0^1tf'(t)\,dt$ を示せ．
\item[(2)] $\displaystyle\int_0^2g(x)\,dx$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $f'(x)=3x^2+1>0$ より $f(x)$ は増加関数で，$f(0)=0$，$f(1)=2$ である．$x=f(t)$ とおくと $dx=f'(t)\,dt$，$g(x)=t$ であり，$x:0\to 2$ のとき $t:0\to 1$
\[ \int_0^2g(x)\,dx=\int_0^1t\,f'(t)\,dt \]
(2) $f'(t)=3t^2+1$ であるから
\[ \int_0^1t(3t^2+1)\,dt=\left[\frac{3}{4}t^4+\frac{1}{2}t^2\right]_0^1=\frac{5}{4} \]
（下図のように，$\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx+\int_0^2g(x)\,dx$ は $1\times 2$ の長方形の面積 $2$ に等しい．実際 $\displaystyle\int_0^1(x^3+x)\,dx=\frac{3}{4}$ で，$\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4}=2$）
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