2つの積分の和を計算して漸化式を導く（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 2つの積分の和を計算して漸化式を導く（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $n\geqq 1$ のとき，$I_n+I_{n-1}=\dfrac{1}{n}$ を示し，$I_3$ を求めよ．
\item[(2)] $0\leqq I_n\leqq\dfrac{1}{n+1}$ を示し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $I_n+I_{n-1}=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n+x^{n-1}}{1+x}\,dx=\int_0^1x^{n-1}\,dx=\frac{1}{n}$
$I_0=\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2$ であるから
\[ I_1=1-\log 2,\qquad I_2=\frac{1}{2}-I_1=\log 2-\frac{1}{2},\qquad I_3=\frac{1}{3}-I_2=\frac{5}{6}-\log 2 \]
(2) $0\leqq x\leqq 1$ のとき $1+x\geqq 1$ であるから $0\leqq\dfrac{x^n}{1+x}\leqq x^n$
各辺を $0$ から $1$ まで積分して
\[ 0\leqq I_n\leqq\int_0^1x^n\,dx=\frac{1}{n+1} \]
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=0$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます