2つの積分の和を計算して漸化式を導く（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 2つの積分の和を計算して漸化式を導く（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $n\geqq 2$ のとき，$I_n+I_{n-2}=\dfrac{1}{n-1}$ を示せ．
\item[(2)] $I_4$ と $I_3$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\tan^nx+\tan^{n-2}x=\tan^{n-2}x(\tan^2x+1)=\tan^{n-2}x\cdot\dfrac{1}{\cos^2x}=\tan^{n-2}x(\tan x)'$ であるから
\[ I_n+I_{n-2}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}x(\tan x)'\,dx=\left[\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{n-1} \]
(2) $I_0=\dfrac{\pi}{4}$
\[ I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan x\,dx=\Bigl[-\log\cos x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{4}}=-\log\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\log 2 \]
(1) より $I_2=1-I_0=1-\dfrac{\pi}{4}$，$I_4=\dfrac{1}{3}-I_2=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{3}$
$I_3=\dfrac{1}{2}-I_1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\log 2$
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