部分積分で定積分の漸化式を導き値を求める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 部分積分で定積分の漸化式を導き値を求める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$I_n=\displaystyle\int_0^1x^ne^x\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $n\geqq 1$ のとき，$I_n=e-nI_{n-1}$ を示せ．
\item[(2)] $I_3$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 部分積分法により
\[ I_n=\Bigl[x^ne^x\Bigr]_0^1-\int_0^1nx^{n-1}e^x\,dx=e-nI_{n-1} \]
(2) $I_0=\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-1$ であるから
\[ I_1=e-I_0=1,\qquad I_2=e-2I_1=e-2,\qquad I_3=e-3I_2=6-2e \]
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます