部分積分で定積分の漸化式を導き値を求める（A）

(1) $n\geqq 2$ のとき，$\sin^nx=\sin^{n-1}x\cdot\sin x$ として部分積分法を用いると \[ I_n=\Bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx \] 第 1 項は $0$ で，$\cos^2x=1-\sin^2x$ より \[ I_n=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \] よって $nI_n=(n-1)I_{n-2}$ すなわち $I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ (2) $I_0=\dfrac{\pi}{2}$，$I_1=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx=1$ であるから \[ I_5=\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot I_1=\frac{8}{15},\qquad I_6=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0=\frac{5}{32}\pi \]