部分積分を2回くり返す指数関数と三角関数の積の定積分（B）

部分積分法により \[ I=\Bigl[e^{2x}\sin x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}2e^{2x}\sin x\,dx=e^{\pi}-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{2x}\sin x\,dx \] \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{2x}\sin x\,dx=\Bigl[-e^{2x}\cos x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}2e^{2x}\cos x\,dx=1+2I \] よって $I=e^{\pi}-2(1+2I)$ より $5I=e^{\pi}-2$，$I=\dfrac{e^{\pi}-2}{5}$