部分積分を2回くり返す指数関数と三角関数の積の定積分（A）

部分積分法により \[ I=\Bigl[e^x\sin x\Bigr]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}e^x\cos x\,dx=-\int_0^{\pi}e^x\cos x\,dx \] \[ \int_0^{\pi}e^x\cos x\,dx=\Bigl[e^x\cos x\Bigr]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}e^x\sin x\,dx=(-e^{\pi}-1)+I \] よって $I=e^{\pi}+1-I$ より $I=\dfrac{e^{\pi}+1}{2}$