x·eˣ, log x の定積分（部分積分）（B）

(1) 部分積分法により \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x(-\cos x)'\,dx=\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=0+\Bigl[\sin x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=1 \] (2) 部分積分法により \[ \int_1^ex\log x\,dx=\int_1^e\left(\frac{x^2}{2}\right)'\log x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4} \] (3) 部分積分法により \[ \int_0^1x^2e^x\,dx=\int_0^1x^2(e^x)'\,dx=\Bigl[x^2e^x\Bigr]_0^1-\int_0^12xe^x\,dx=e-2\int_0^1xe^x\,dx \] ここで，もう一度部分積分法を用いると \[ \int_0^1xe^x\,dx=\int_0^1x(e^x)'\,dx=\Bigl[xe^x\Bigr]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1 \] よって $\displaystyle\int_0^1x^2e^x\,dx=e-2\cdot 1=e-2$