x·eˣ, log x の定積分（部分積分）（A）

(1) 部分積分法により \[ \int_0^1xe^x\,dx=\int_0^1x(e^x)'\,dx=\Bigl[xe^x\Bigr]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-\Bigl[e^x\Bigr]_0^1=e-(e-1)=1 \] (2) 部分積分法により \[ \int_1^e\log x\,dx=\int_1^e(x)'\log x\,dx=\Bigl[x\log x\Bigr]_1^e-\int_1^e x\cdot\frac{1}{x}\,dx=e-(e-1)=1 \] (3) 部分積分法により \[ \int_0^{\pi}x\cos x\,dx=\int_0^{\pi}x(\sin x)'\,dx=\Bigl[x\sin x\Bigr]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x\,dx=0-\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi}=-2 \]