置換でもとの積分を再び作り出して値を求める（B）

(1) $I=\displaystyle\int_{-a}^a\frac{f(x)}{1+e^x}\,dx$ とおく．$x=-t$ とおくと $dx=-dt$．$x:-a\to a$ のとき $t:a\to -a$ で，$f(x)$ は偶関数であるから $f(-t)=f(t)$ \[ I=\int_a^{-a}\frac{f(t)}{1+e^{-t}}(-dt)=\int_{-a}^a\frac{f(t)}{1+e^{-t}}\,dt=\int_{-a}^a\frac{e^tf(t)}{e^t+1}\,dt \] よって，もとの式と辺々加えると \[ 2I=\int_{-a}^a\frac{(1+e^x)f(x)}{1+e^x}\,dx=\int_{-a}^af(x)\,dx=2\int_0^af(x)\,dx \] したがって $I=\displaystyle\int_0^af(x)\,dx$ (2) $f(x)=x^2$ は偶関数であるから，(1) より $\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}$