置換でもとの積分を再び作り出して値を求める（A）

(1) $x=\tan\theta$ とおくと $dx=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$，$1+x^2=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$．$x:0\to 1$ のとき $\theta:0\to\dfrac{\pi}{4}$ \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan\theta)\cos^2\theta\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan\theta)\,d\theta \] (2) $\theta=\dfrac{\pi}{4}-t$ とおくと $d\theta=-dt$．$\theta:0\to\dfrac{\pi}{4}$ のとき $t:\dfrac{\pi}{4}\to 0$ で \[ 1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=1+\frac{1-\tan t}{1+\tan t}=\frac{2}{1+\tan t} \] よって \[ \begin{aligned} I&=\int_{\frac{\pi}{4}}^0\log\left\{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right\}(-dt)=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\frac{2}{1+\tan t}\,dt\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log 2\,dt-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan t)\,dt \end{aligned} \] (1) より $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan t)\,dt=I$ であるから $I=\dfrac{\pi}{4}\log 2-I$ したがって $I=\dfrac{\pi}{8}\log 2$