x=a−t の形の置換で定積分の等式を示す（B）

(1) $I=\displaystyle\int_0^{\pi}xf(\sin x)\,dx$ とおく．$x=\pi-t$ とおくと $dx=-dt$，$\sin x=\sin(\pi-t)=\sin t$．$x:0\to\pi$ のとき $t:\pi\to 0$ \[ I=\int_{\pi}^0(\pi-t)f(\sin t)(-dt)=\int_0^{\pi}(\pi-t)f(\sin t)\,dt=\pi\int_0^{\pi}f(\sin t)\,dt-I \] よって $I=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^{\pi}f(\sin x)\,dx$ (2) $\dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}=\dfrac{\sin x}{2-\sin^2x}$ は $\sin x$ の関数であるから，(1) より \[ \int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,dx \] $\cos x=u$ とおくと $-\sin x\,dx=du$，$x:0\to\pi$ のとき $u:1\to -1$ \[ \int_0^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,dx=\int_{-1}^1\frac{du}{1+u^2} \] さらに $u=\tan\theta$ とおくと $du=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$，$1+u^2=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$．$u:-1\to 1$ のとき $\theta:-\dfrac{\pi}{4}\to\dfrac{\pi}{4}$ であるから \[ \int_{-1}^1\frac{du}{1+u^2}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2\theta\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}d\theta=\frac{\pi}{2} \] よって，求める値は $\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi^2}{4}$