x=a−t の形の置換で定積分の等式を示す（A）

(1) $x=\dfrac{\pi}{2}-t$ とおくと $dx=-dt$．$x:0\to\dfrac{\pi}{2}$ のとき $t:\dfrac{\pi}{2}\to 0$ で，$\sin x=\cos t$ \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(\cos t)(-dt)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos t)\,dt \] (2) $J=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$ とおく．(1) と同じおき換え $x=\dfrac{\pi}{2}-t$ をすると，$\sin x=\cos t$，$\cos x=\sin t$ であるから \[ I=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\cos t}{\cos t+\sin t}(-dt)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{\sin t+\cos t}\,dt=J \] 一方 $I+J=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\frac{\pi}{2}$ よって $I=\dfrac{\pi}{4}$