偶関数・奇関数で計算を省く定積分（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 偶関数・奇関数で計算を省く定積分（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の定積分を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\int_{-2}^2(x^5-4x^3+x^2+1)\,dx$
\item[(2)] $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx$
\item[(3)] $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{1+\cos x}\,dx$
\end{enumerate}
(1) $x^5$，$-4x^3$ は奇関数，$x^2$，$1$ は偶関数であるから
\[ \int_{-2}^2(x^5-4x^3+x^2+1)\,dx=2\int_0^2(x^2+1)\,dx=2\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2=2\left(\frac{8}{3}+2\right)=\frac{28}{3} \]
(2) $x\sin x$ は偶関数（奇関数どうしの積）であるから
\[ \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=2\int_0^{\pi}x\sin x\,dx=2\int_0^{\pi}x(-\cos x)'\,dx=2\left\{\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx\right\}=2(\pi+0)=2\pi \]
(3) $\tan x$ は奇関数，$1+\cos x$ は偶関数であるから，被積分関数は奇関数．よって $0$
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