偶関数・奇関数で計算を省く定積分（A）

$f(x)$ が偶関数のとき $\displaystyle\int_{-a}^af(x)\,dx=2\int_0^af(x)\,dx$，奇関数のとき $\displaystyle\int_{-a}^af(x)\,dx=0$ である． (1) $x^3$，$-x$ は奇関数，$3x^2$，$2$ は偶関数であるから \[ \int_{-1}^1(x^3+3x^2-x+2)\,dx=2\int_0^1(3x^2+2)\,dx=2\Bigl[x^3+2x\Bigr]_0^1=6 \] (2) $(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x$ で，$2\sin x\cos x$ は奇関数であるから \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^2\,dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+2\sin x\cos x)\,dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\,dx=\pi \] (3) $(-x)e^{(-x)^2}=-xe^{x^2}$ より，$xe^{x^2}$ は奇関数であるから \[ \int_{-1}^1xe^{x^2}\,dx=0 \]