x=sinθ とおく定積分（√(1−x²)）（B）

(1) $x=2\sin\theta$ とおくと $dx=2\cos\theta\,d\theta$．$x:-2\to 2$ のとき $\theta:-\dfrac{\pi}{2}\to\dfrac{\pi}{2}$ で，この範囲で $\cos\theta\geqq 0$ であるから $\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}=2\cos\theta$ \[ \int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos\theta\cdot 2\cos\theta\,d\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4\cos^2\theta\,d\theta=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2\theta)\,d\theta=2\pi \] （半径 2 の半円の面積に等しい．） (2) $x=3\sin\theta$ とおくと $dx=3\cos\theta\,d\theta$．$x:0\to\dfrac{3}{2}$ のとき $\theta:0\to\dfrac{\pi}{6}$ で，この範囲で $\cos\theta>0$ であるから $\sqrt{9-x^2}=3\cos\theta$ \[ \int_0^{\frac{3}{2}}\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{3\cos\theta}{3\cos\theta}\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{6}}d\theta=\frac{\pi}{6} \] (3) $x=\sin\theta$ とおくと $dx=\cos\theta\,d\theta$．$x:0\to 1$ のとき $\theta:0\to\dfrac{\pi}{2}$ で，この範囲で $\cos\theta\geqq 0$ であるから $\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$ \[ \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cdot\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 2\theta}{4}\,d\theta=\frac{1}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\frac{\pi}{16} \]