x=sinθ とおく定積分（√(1−x²)）（A）

(1) $x=\sin\theta$ とおくと $dx=\cos\theta\,d\theta$．$x:0\to 1$ のとき $\theta:0\to\dfrac{\pi}{2}$ で，この範囲で $\cos\theta\geqq 0$ よって $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta$ であるから \[ \int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4} \] （半径 1 の四分円の面積に等しい．） (2) $x=2\sin\theta$ とおくと $dx=2\cos\theta\,d\theta$．$x:0\to\sqrt{3}$ のとき $\theta:0\to\dfrac{\pi}{3}$ で，この範囲で $\cos\theta>0$ であるから $\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}=2\cos\theta$ \[ \int_0^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{3}}2\cos\theta\cdot 2\cos\theta\,d\theta=2\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2\theta)\,d\theta=2\left[\theta+\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}=\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2} \] （下図の扇形と三角形の面積の和に等しい．） (3) $x=\sin\theta$ とおくと $dx=\cos\theta\,d\theta$．$x:0\to\dfrac{1}{2}$ のとき $\theta:0\to\dfrac{\pi}{6}$ で，この範囲で $\cos\theta>0$ であるから $\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$ \[ \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{\cos\theta}{\cos\theta}\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{6}}d\theta=\frac{\pi}{6} \]