まとめて置換する定積分（B）

(1) $2x-1=t$ とおくと $x=\dfrac{t+1}{2}$，$dx=\dfrac{1}{2}dt$．$x:0\to 1$ のとき $t:-1\to 1$ \[ \int_0^1 x(2x-1)^3\,dx=\int_{-1}^1\frac{t+1}{2}\cdot t^3\cdot\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{4}\int_{-1}^1(t^4+t^3)\,dt \] $t^4$ は偶関数，$t^3$ は奇関数であるから \[ \frac{1}{4}\int_{-1}^1(t^4+t^3)\,dt=\frac{1}{4}\cdot 2\int_0^1t^4\,dt=\frac{1}{2}\left[\frac{t^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{10} \] (2) $x+1=t$ とおくと $dx=dt$．$x:0\to 3$ のとき $t:1\to 4$ \[ \int_0^3\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx=\int_1^4\frac{t-1}{\sqrt{t}}\,dt=\int_1^4\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)dt=\left[\frac{2}{3}t\sqrt{t}-2\sqrt{t}\right]_1^4=\left(\frac{16}{3}-4\right)-\left(\frac{2}{3}-2\right)=\frac{8}{3} \] (3) $\log x=t$ とおくと $\dfrac{dx}{x}=dt$．$x:1\to e$ のとき $t:0\to 1$ \[ \int_1^e\frac{(\log x)^2}{x}\,dx=\int_0^1 t^2\,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3} \]