まとめて置換する定積分（A）

(1) $1-x=t$ とおくと $dx=-dt$．$x:0\to 1$ のとき $t:1\to 0$ \[ \int_0^1 x(1-x)^5\,dx=\int_1^0(1-t)t^5(-dt)=\int_0^1(t^5-t^6)\,dt=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{1}{42} \] (2) $x-1=t$ とおくと $dx=dt$．$x:1\to 2$ のとき $t:0\to 1$ \[ \int_1^2 x\sqrt{x-1}\,dx=\int_0^1(t+1)\sqrt{t}\,dt=\int_0^1\left(t^{\frac{3}{2}}+t^{\frac{1}{2}}\right)dt=\left[\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_0^1=\frac{2}{5}+\frac{2}{3}=\frac{16}{15} \] (3) $\sin x=t$ とおくと $\cos x\,dx=dt$．$x:0\to\dfrac{\pi}{2}$ のとき $t:0\to 1$ \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\cos x\,dx=\int_0^1 t^2\,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3} \]