t=tan(x/2) と置換する積分（B）

$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくと，$\cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{1+t^2}$ であるから \[ \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\tan\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2},\qquad 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}=\frac{2}{1+t^2} \] また，$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\dfrac{1+t^2}{2}$ であるから $dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ $\sin x(1+\cos x)=\dfrac{4t}{(1+t^2)^2}$ であるから \[ \int\frac{(1+t^2)^2}{4t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int\frac{1+t^2}{2t}\,dt=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{t}+t\right)dt=\frac{1}{2}\log|t|+\frac{t^2}{4}+C \] よって $\dfrac{1}{2}\log\left|\tan\dfrac{x}{2}\right|+\dfrac{1}{4}\tan^2\dfrac{x}{2}+C$（$C$ は積分定数）