t=tan(x/2) と置換する積分（A）

$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくと $\cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{1+t^2}$ であるから \[ \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\tan\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2} \] \[ \cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2} \] また，$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\dfrac{1+t^2}{2}$ であるから $dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ $1+\sin x+\cos x=\dfrac{(1+t^2)+2t+(1-t^2)}{1+t^2}=\dfrac{2(1+t)}{1+t^2}$ であるから \[ \int\frac{1+t^2}{2(1+t)}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int\frac{dt}{1+t}=\log|1+t|+C \] よって $\log\left|1+\tan\dfrac{x}{2}\right|+C$（$C$ は積分定数）