1+cosx などを分母にもつ三角関数の積分（B）

$C$ は積分定数とする． (1) $1-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2}$ であるから \[ \int\frac{dx}{2\sin^2\frac{x}{2}}=-\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}+C \] (2) $(1+\sin x)'=\cos x$ であり，$1+\sin x\geqq 0$ で分母は 0 でないから $1+\sin x>0$ である．よって $\log(1+\sin x)+C$ (3) $\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1-\sin^2x}$．$\sin x=u$ とおくと $\cos x\,dx=du$ \[ \int\frac{du}{1-u^2}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du=\frac{1}{2}\left(-\log|1-u|+\log|1+u|\right)+C=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C \] $\cos x\neq 0$ より $-1<u<1$ であるから $\dfrac{1+u}{1-u}>0$ である． よって $\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}+C$